题目内容
11．已知函数f（x）=xex，记f0（x）=f′（x），f1（x）=f′（x0），…，fn（x）=f′n-1（x）且x2＞x1，对于下列命题：①函数f（x）存在平行于x轴的切线；
②$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0；
③f′2012（x）=xex+2014ex；
④f（x1）+x2＜f（x2）+x1．
⑤当x1＞0时，有x2f（x1）＜x1f（x2）．
其中正确的命题序号是①③⑤（写出所有满足题目条件的序号）．
分析 根据导数的几何意义判断①正确，根据导数和函数的单调性判断②错；根据导数的运算，得到③正确，根据导数与函数的单调性的关系判断④错．根据函数的斜率关系，结合函数的单调性可以判断⑤正确．
解答 
解：①，∵f′（x）=（x+1）ex，∴当x=-1时，f′（-1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故①正确；
②，∵f′（x）=（x+1）ex，∴x∈（-∞，-1）时，函数f（x）单调递减，x∈（-1，+∞）时，函数f（x）单调递增，
故$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0不能确定，故②错；
③，∵f1（x）=f′（x0）=xex+2ex，f2（x）=f1′（x）=xex+3ex，…，fn（x）=f′n-1（x）=xex+（n+1）ex，
∴f′2012（x）=f2013（x）=xex+2014ex；故③正确；
④，f（x1）+x2＜f（x2）+x1等价于f（x1）-x1＜f（x2）-x2，构建函数h（x）=f（x）-x，则h′（x）=f′（x）-1=（x+1）ex-1，
易知函数h（x）在R上不单调，故④错；
⑤，当x1＞0时，有x2f（x1）＜x1f（x2）．则等价为$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
即函数在点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））处，与原点的斜率满足kOA＜kOB，
由②知函数在（0，+∞）上单调递增，则kOA＜kOB，成立，故⑤正确，
故答案为：①③⑤
点评 本题主要考查与导数有关的命题的真假判断，考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题
练习册系列答案
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