Question

3．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（x=1）}\\{{2}^{|x-1|}（x≠1）}\end{array}\right.$，若关于x的方程3|f（x）|²-（3a+4）•f（x）+4a=0有五个不同的实数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{4}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，2）
• B． （1，$\frac{4}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． （1，2）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，利用换元法结合一元二次函数的图象和性质即可．

解答 解：作出f（x）的图象如图：设t=f（x），
则方程等价为3t²-（3a+4）t+4a=0
由图象可知，
若关于x的方程3|f（x）|²-（3a+4）•f（x）+4a=0
有五个不同的实数解，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根．
所以有：a＞1．
再根据3|f（x）|²-（3a+4）•f（x）+4a=0有两个不等实根，
则判别式△=（3a+4）²-4×3×4a＞0，
解得a≠$\frac{4}{3}$，
故1＜a＜$\frac{4}{3}$或x＞$\frac{4}{3}$，
故选B．

点评 本题主要考查函数和方程的应用，利用换元法结合一元二次函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键