Question

【题目】已知动圆M与直线相切，且与圆外切，记动圆M的圆心轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），证明直线l经过定点H，并求出H点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）

（2）H（6,0），证明见解析

【解析】

（1）根据抛物线的定义即可求解；

（2）设，，直线l的方程为，联立方程，消去，列出韦达定理，根据即可得到方程，解得.

解：（1）因为已知动圆与直线相切，且与圆外切，

所以动圆的圆心到点的距离与动圆的圆心到直线的距离相等.

∴动圆的圆心的轨迹是以为焦点的抛物线.

∴曲线的方程.

（2）∵直线l与曲线相交于A，B两点，∴直线l的斜率不为0.

设，，直线l的方程为.

由，消去，得.

∴，即.

∴，.

∵，∴.

∴.

∴，满足.

∴直线l的方程为.

∴直线l过定点H（6,0）.