Question

【题目】如图，DC⊥平面ABC，，，，P、Q分别为AE，AB的中点.

(1)证明：平面.

(2)求异面直线与所成角的余弦值；

(3)求平面与平面所成锐二面角的大小。

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2) (3)

【解析】

（1）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用向量数量积求直线方向向量夹角，即得异面直线所成角，（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.

解：（1）证明：因为分别是的中点，

所以，，

又，

所以，，平面，

平面，

所以，平面.

（2）因为平面

以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.

则得，

所以，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值.

（3）由（Ⅱ）可知，，

设平面的法向量为

， .

由已知可得平面的法向量为以，

所以.

故所求平面与平面所成锐二面角的大小为.