Question

【题目】已知过点的直线l：与抛物线E：（）交于B，C两点，且A为线段的中点.

（1）求抛物线E的方程；

（2）已知直线：与直线l平行，过直线上任意一点P作抛物线E的两条切线，切点分别为M，N，是否存在这样的实数m，使得直线恒过定点A？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在实数使得命题成立

【解析】

(1)直线方程与抛物线方程联立,借助韦达定理即可求得,得出抛物线方程;

(2)设M，N点的坐标分别为，，直线上任意一点,由,利用导数的几何意义可得点M处的切线方程和点N处的切线方程,由都满足上述两个方程,即有可得直线的方程即为:,点代入即可得出存在实数使得命题成立.

（1）由，，，

依题意，.

故抛物线E的方程为：.

（2）设M，N点的坐标分别为，，直线上任意一点，

由，可得点M处的切线的方程为：，

点N处的切线的方程为：

∵都满足上述两个方程，∴

∴直线的方程为：，

∵直线恒过定点，∴，得，

故存在实数使得命题成立.