Question

【题目】已知函数的最大值为，且曲线在x＝0处的切线与直线平行（其中e为自然对数的底数）．

（1）求实数a，b的值；

（2）如果，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为列出关于a，b的方程组求解；

（2）利用找到的关系式，然后引入，构造关于t的函数，将转换成关于t的函数，求最值即可．

解：（1）由已知．

则易知，又因为，故a＝0．

此时可得．

①若b＞0，则当时，递减；

当时，递增．

此时，函数有最小值，无最大值．

②若b＜0，则当时，递增；

当时，递减．

此时，解得．

所以即为所求．

（2）由，且得：．

∴．设，则

可得，所以要证，即证．

∵t＞0，所以，所以即证．

设，则．

令，则

当时，递减；当时，递增．

所以，即，所以在上递增．

所以．

．