题目内容
8．以下四个关于圆锥曲线命题：①“曲线ax2+by2=1为椭圆”的充分不必要条件是“a＞0，b＞0”；
②若双曲线的离心率e=2，且与椭圆$\frac{{y}^{2}}{24}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x；
③抛物线x=-2y2的准线方程为x=$\frac{1}{8}$；
④长为6的线段AB的端点A，B分别在x、y轴上移动，动点M（x，y）满足$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，则动点M的轨迹方程为
$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
其中正确命题的序号为③④．
分析 由椭圆方程的特点，可得a＞0，b＞0，且a≠b，结合充分必要条件的定义，即可判断①；
求出椭圆的焦点可得双曲线的c，由离心率公式可得a，由a，b，c的关系可得b，进而得到双曲线的渐近线方程，即可判断②；
将抛物线的方程化为标准方程，由准线方程，即可判断③；
设设A（a，0），B（0，b），由向量共线的坐标表示，求得a，b，代入两点的距离公式，化简整理可得M的方程，即可判断④．
解答 解：①曲线ax2+by2=1为椭圆可得a＞0，b＞0，且a≠b，
则“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件是“a＞0，b＞0”，故①错；
②若双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=2，且与椭圆$\frac{{y}^{2}}{24}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1有相同的焦点，即有c=$\sqrt{24-8}$=4，a=2，b=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x即为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，故②错；
③抛物线x=-2y2的标准方程为y2=-$\frac{1}{2}$x，准线方程为x=$\frac{1}{8}$，故③正确；
④长为6的线段AB的端点A，B分别在x、y轴上移动，动点M（x，y）满足$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，
可设A（a，0），B（0，b），即有x-a=2（-x），y=2（b-y），可得a=3x，b=$\frac{3}{2}$y，由|AB|=6，可得a2+b2=36，
即有$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，故④正确．
故答案为：③④．
点评 本题考查命题的真假判断，主要是圆锥曲线的方程和性质，考查渐近线方程和准线方程，以及轨迹方程的求法，注意运用代入法，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
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