Question

17．在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{CD}$，点E为线段AD的中点，$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，则λ=$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，由 $\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$，代入化简即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$，
代入可得：$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
=-$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$与，$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，比较，
可得：λ=-$\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，向量的几何中的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．