题目内容

13．函数y=$\frac{（1-x）^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{1-x}$（0＜x＜1）的最小值为1．

分析 变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：y=$\frac{（1-x）^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{1-x}$=$\frac{1-2x+{x}^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}-1+1}{1-x}$=$\frac{1}{x}$-2+x-（x+1）+$\frac{1}{1-x}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$-3，
∵0＜x＜1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=[x+（1-x）]$（\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}）$=2+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{x}{1-x}$≥2+2$\sqrt{\frac{1-x}{x}×\frac{x}{1-x}}$=4，当且仅当1-x=x，即x=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴函数y=$\frac{（1-x）^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{1-x}$（0＜x＜1）的最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
3．已知圆的方程为x2+y2=2，若直线y=x-b与圆相切，则b等于（　　）
A．2B．-2C．0D．2或-2
4．阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ   ①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ   ②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ  ③
令α+β=A，α-β=B 有α=$\frac{A+B}{2}$，β=$\frac{A-B}{2}$
代入③得 sinA+sinB=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：
cosA-cosB=2sin$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$．；
（Ⅱ）在△ABC中，求T=sinA+sinB+sinC+sin$\frac{π}{3}$的最大值．
1．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：$\overrightarrow{a}$=（2，-3）、$\overrightarrow{b}$=（x，6），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值为（　　）
A．$\sqrt{5}$B．$\sqrt{13}$C．5D．13
8．设函数f（x）=x2-2x+mlnx+1，其中m为常数．
（1）若m≥$\frac{1}{2}$，证明：函数f（x）在定义域上是增函数；
（2）若函数f（x）有唯一极值点，求实数m的取值范围．
1．已知二阶矩阵M有特征值λ=3，及对应的一个特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，并且M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
（2）在极坐标系中，设圆C经过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），圆心是直线$ρsin（\frac{π}{3}-θ）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
8．已知函数f（x）=$\frac{lnx+k}{{e}^{x}}$（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．
（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜$\frac{{e}^{-2}+1}{{x}^{2}+x}$恒成立．
5．已知函数f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x2-x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．
6．已知函数f（x）=ln（mx）-x+1，g（x）=（x-1）ex-mx，m＞0．
（Ⅰ）若f（x）的最大值为0，求m的值；
（Ⅱ）求证：g（x）仅有一个极值点x0，且$\frac{1}{2}$ln（m+1）＜x0＜m．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网