题目内容
1．已知二阶矩阵M有特征值λ=3，及对应的一个特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，并且M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．（2）在极坐标系中，设圆C经过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），圆心是直线$ρsin（\frac{π}{3}-θ）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
分析 （1）设M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得M；
（2）圆心为直线$ρsin（\frac{π}{3}-θ）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$与极坐标的交点，令θ=0，得ρ=1，即可求得圆心坐标及半径，即可求得圆C的极坐标方程．
解答 解：（1）设M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，由$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{c+d=3}\end{array}\right.$，
由$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{-1}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{9}\\{15}\end{array}]$，得：$\left\{\begin{array}{l}{-a+2b=9}\\{-c+2d=3}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
故M=$[\begin{array}{l}{-1}&{4}\\{-3}&{6}\end{array}]$，
（2）因为圆心为直线$ρsin（\frac{π}{3}-θ）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$与极坐标的交点，
所以令θ=0，得ρ=1，即圆心为（1，0），
又圆心C经过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），
所以圆的半径r=$\sqrt{3+1-2\sqrt{3}cos\frac{π}{6}}$=1，
所以圆过原点，其极坐标方程ρ=2cosθ．
点评 本题考查矩阵的变换，考查极坐标系中直线与圆位置关系，考查转化思想，属于中档题．
| A． | （-1，-1） | B． | （1，1） | C． | （1，$\sqrt{3}}$） | D． | （${\sqrt{3}$，1） |
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且直线2x+y-3=0与椭圆C相切．