Question

10．已知数列{a_n}的通项公式为${a_n}=3-\frac{n+3}{2^n}（n∈{N_+}）$，数列{b_n}的通项公式为${b_n}=\frac{5n}{2n+1}$（n∈N₊）
（1）分别令n=1，2，3，4，计算a_n，b_n值，并比较a₁与b₁，a₂与b₂，a₃与b₃，a₄与b₄大小；
（2）根据（1）猜测a_n与b_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由已知数列通项公式分别求出a₁与b₁，a₂与b₂，a₃与b₃，a₄与b₄的值并比较大小；
（2）由（1）猜测，a₁＜b₁，a₂＜b₂，当n≥3时，a_n＞b_n．然后利用数学归纳法证明．

解答 解：（1）由${a_n}=3-\frac{n+3}{2^n}（n∈{N_+}）$，${b_n}=\frac{5n}{2n+1}$（n∈N₊），得
a₁=1，b₁=$\frac{5}{3}$，a₂=$\frac{7}{4}$，b₂=2，a₃=$\frac{9}{4}$，b₃=$\frac{15}{7}$，a₄=$\frac{41}{16}$，b₄=$\frac{20}{9}$．
∴a₁＜b₁，a₂＜b₂，a₃＞b₃，a₄＞b₄ ；
（2）由（1）猜测，a₁＜b₁，a₂＜b₂，当n≥3时，a_n＞b_n．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=3时，由（1）知成立；
②假设当n=k（k≥3）时，a_n＞b_n成立，即$3-\frac{k+3}{{2}^{k}}$＞$\frac{5k}{2k+1}$．
整理得：2^k＞2k+1．
那么，当n=k+1时，${a}_{k+1}=3-\frac{k+4}{{2}^{k+1}}$，${b}_{k+1}=\frac{5k+5}{2k+3}$．
要证a_k+1＞b_k+1成立，需要证$3-\frac{k+4}{{2}^{k+1}}$$＞\frac{5k+5}{2k+3}$成立，
即证2^k+1＞2k+3．
∵2^k+1=2•2^k＞2•（2k+1）=4k+2，
也就是证4k+2＞2k+3，
即证2k＞1，此式在k≥3时显然成立．
综①②所述，当n≥3时，a_n＞b_n成立．

点评 本题考查数列递推式，考查了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，是中档题．