Question

5．平面直角坐标系xOy中，已知动圆M过点F（1，0）且与直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设P为曲线C上一点，曲线C在点P处的切线交y轴于点A，若△PAF外接圆面积为4π，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义和题设中的条件可知点M是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，进而求得抛物线方程；
（2）求出切线方程，可得A的坐标，证明PF为△PAF外接圆的直径，即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）由已知，点M到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，
∴点M是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，
∴点M的轨迹方程为y²=4x；
（2）设切点坐标为（m，n），则y′=$\frac{2}{y}$，
∴曲线C在点P处的切线方程为y-n=$\frac{2}{n}$（x-m），
令x=0，可得y=$\frac{{n}^{2}-2m}{n}$=$\frac{2m}{n}$=$\frac{n}{2}$，
∴A（0，$\frac{n}{2}$），
∴k_AF=-$\frac{n}{2}$，
∴AF⊥PA，
∴PF为△PAF外接圆的直径．
∵△PAF外接圆面积为4π，
∴△PAF外接圆的半径为2，
∴|PF|=4，
∴m+1=4，
∴m=3，n=±2$\sqrt{3}$．
∴P（3，±2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查抛物线定义、方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．