Question

2．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是BC，DC的中点，G为 BF、DE的交点，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow b$
（1）试用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{CG}$；
（2）求$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CG}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，根据平面向量的线性表示与运算法则，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{BF}$与$\overrightarrow{CG}$；
（2）根据平面向量的数量积运算，求出$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CG}$即可．

解答 解：（1）由题意，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，
E、F分别是BC，DC的中点，G为 BF、DE的交点
所以G为△BCD的重心，设BD中点为H，则
$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{GH}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$；
（2）$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CG}=（{-\frac{1}{2}\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•（{-\frac{1}{3}\overrightarrow a-\frac{1}{3}\overrightarrow b}）$
=$\frac{1}{6}{\overrightarrow a^2}-\frac{1}{6}\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{3}{\overrightarrow b^2}$
=$\frac{1}{6}$${|\overrightarrow{a}|}^{2}$-$\frac{1}{6}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos60°-$\frac{1}{3}$${|\overrightarrow{b}|}^{2}$
=$\frac{1}{6}$×4-$\frac{1}{6}$×2×2×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$×4
=-1．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是综合性题目．