Question

若函数f(x)=log

2

(1-x2)，
（1）求定义域；
（2）求值域；
（3）求单调增区间．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的真数大于0建立不等式，可求出函数的定义域；
（2）根据真数的取值范围，以及指数函数的单调性可求出该函数的值域；
（3）将原函数分解成两个简单函数y=log₂g（x）、g（x）=1-x²，因为y=log₂g（x）单调递增，所以要求原函数的单调递增区间即要求g（x）=1-x²的增区间（根据同增异减的性质），再由定义域即可得到答案．

解答：解：（1）∵f(x)=log

2

(1-x2)，
∴1-x²＞0，
解得：-1＜x＜1，
∴定义域为{x|-1＜x＜1}；
（2）∵1≥1-x²＞0，
∴f(x)=log

2

(1-x2)≤0，
则函数f（x）的值域为{y|y≤0}；
（3）∵

2

＞1，
∴函数y=log 

2

（1-x²）的单调递增区间就是g（x）=1-x²的单调递增区间．
对于y=g（x）=1-x²，开口向下，对称轴为x=0，
∴g（x）=1-x²的单调递增区间是（-∞，0）．
∵-1＜x＜1，
∴函数y=log₂（1-x²）的单调递增区间是（-1，0）．

点评：本题主要考查复合函数定义域和值域，以及单调性的问题，求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可，属于中档题．