题目内容

设f（x）=3ax2+2bx+c，a+b+c=0，f（0）•f（1）＞0，求证：
（1）f（x）=0有实根；
（2）-2＜
b
a
＜-1．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）求方程3ax2+2bx+c=0的判别式△，根据条件让△≥0即可．
（2）想着让式子中出现
b
a
，根据a+b+c=π，所以f（0）•f（1）=c（3a+2b+c）=（-a-b）（2a+b）＞0，不等式两边同除以a2即可．
解答： 解：（1）∵a+b+c=0；
∴对于方程3ax2+2bx+c=0，△=4b2-12ac=4b2+12a（a+b）=4b2+12a2+12ab=（2b+3a）2+3a2＞0
∴f（x）=0有实根．
（2）∵a+b+c=0
∴f（0）•f（1）=c（3a+2b+c）=（-a-b）（2a+b）＞0
两边同除以a2得：（1+
b
a
）（2+
b
a
）＜0
∴-2＜
b
a
＜-1．
点评：考查一元二次方程的根与系数的关系，注意学习让式子中出现
b
a
的办法．
练习册系列答案
相关题目
参数方程
x=-1+4cosα
y=3sinα
（α为参数）表示的平面曲线是（　　）
A、直线B、椭圆
C、双曲线D、抛物线
△ABC中，a=2
3
，b=2
2
，B=45°．则△ABC的面积为（　　）
A、3+
3
或3-
3
B、3+
3
C、3-
3
D、2
3
或2
2
已知函数f（x）=
x2+2x，x＜0
x2-2x，x≥0
．若f（-a）+f（a）≤0，则a的取值范围是（　　）
A、[-1，1]
B、[-2，0]
C、[0，2]
D、[-2，2]
函数y=3sin（
x
2
+
π
3
）的图象可由函数y=3sinx经（　　）变换而得．
A、先把横坐标扩大到原来的两倍（纵坐标不变），再向左平移
π
6
个单位
B、先把横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），再向右平移
π
3
个单位
C、先向右平移
π
3
个单位，再把横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变）
D、先向左平移
π
3
个单位，再把横坐标扩大到原来的两倍（纵坐标不变）
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b大于0）的离心率为
1
2
，且过点（
3
，
3
2
）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左顶点为A，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆E于B，C（异于点A）两点，问直线AB，AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
（1）若等差数列{an}的首项为a1=C
 
11-2m
5m
-A
 
2m-2
11-3m
（m∈N*），公差是（
5
2x
-
2
5
3x2
）n展开式中的常数项，其中n为7777-15除以19的余数，求数列{an}的通项公式．
（2）已知函数f（x）=C
 
0
n
x2n-1-C
 
1
n
x2n-2+C
 
2
n
x2n-3-…+C
 
r
n
（-1）rx2n-1-r+…+C
 
n
n
（-1）nxn-1，n∈N*，是否存在等差数列{an}，使得a1C
 
0
n
+a2C
 
1
n
+…+an+1C
 
n
n
=nf（2）对一切n∈N*都成立？若存在，求an的通项公式，若不存在，说明理由．
求下列函数的导数．
（1）y=2x3-3x2+5x-4
（2）y=x（x2+
1
x
+
1
x3
）．
已知抛物线y2=2px（p＞0），直线过点A（-2，-4），且倾斜角为45°．
（Ⅰ）若直线与抛物线交于M，N两点，且有|MN|2=|AM|•|AN|，求抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在实数p，使得抛物线上存在关于直线对称的不同的两点，若存在，求出p的取值范围，若不存在，请说明理由．

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