Question

椭圆焦点在y轴上，离心率e=

3

2

，且焦点到椭圆上点的最短距离为2-

3

，求椭圆方程及椭圆的长轴长、焦距．

Answer 1

分析：设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，根据题意建立关于a、c的方程组，解出a=2且c=

3

，从而得到b²=a²-c²=1，可得椭圆的方程，进而可得椭圆的长轴长和焦距．

解答：解：设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
∵椭圆的离心率e=

3

2

，且焦点到椭圆上点的最短距离为2-

3

，
∴

c a = 3 2 a-c=2- 3

，解得a=2，c=

3

，所以b²=a²-c²=1，
由此可得椭圆的方程为

y2

4

+x2=1，
∴该椭圆的长轴为2a=4，焦距为2c=2

3

．

点评：本题已知椭圆满足的条件，求椭圆的方程、长轴与焦距．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．