Question

已知椭圆E的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，离心率e=

2

2

，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，且|AB|=

6

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线l：y=x+m与椭圆E相交于M，N两点，且OM⊥ON（其中O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，根据离心率e=

2

2

，且|AB|=

6

，建立方程，求得几何量，即可求椭圆E的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距为c，
由e=

2

2

得，e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，得a²=2b²…（2分）
由|AB|=

6

得，a²+b²=6，…（4分）
故a²=4，b²=2
所以，椭圆E的方程为

y2

4

+

x2

2

=1…（6分）
（2）由

y=x+m y2 4 + x2 2 =1

，消去y，并整理得：3x²+2mx+m²-4=0，…（7分）
由判别式△=4m²-12（m²-4）＞0，解得-

6

＜m＜

6

…（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

2m

3

，x1•x2=

m2-4

3

…（10分）
由OM⊥ON，得

OM

•

ON

=0…（11分）
又

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=2x1x2+m(x1+x2)+m2=

2m2-8

3

+

-2m2

3

+m2=m2-

8

3

=0，
故m=±

2 6

3

…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．