Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为

2

2

，且椭圆经过圆C：x²+y²-3x+4y=0的圆心C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+1与椭圆交于A，B两点，点P（0，

1

3

）且|PA|=|PB|，求直线的方程．

Answer 1

分析：（1）圆C：x²+y²-3x+4y=0的圆心C（1，-2），设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)，依题意有

c a = 2 2 c2=a2-b2 4 a2 + 1 b2 =1

，由此能求出椭圆方程．
（2）由

y=kx+1 y2+2x2=6

，得（k²+2）x²+2kx-5=0，由△=4k²+20（k²+2）=24k²+40＞0，知直线与椭圆必有两个不同的交点，设两交点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），由此入手，能够求出直线方程．

解答：解：（1）圆C：x²+y²-3x+4y=0的圆心C（1，-2），
设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)，
依题意有

c a = 2 2 c2=a2-b2 4 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=6 b2=3

，
∴椭圆方程为

y2

6

+

x2

3

=1．
（2）由

y=kx+1 y2+2x2=6

，得（k²+2）x²+2kx-5=0，
∴△=4k²+20（k²+2）=24k²+40＞0，
故直线与椭圆必有两个不同的交点，
设两交点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
∴x1+x2=

-2k

k2+2

，x1•x2=

-5

k2+2

，
∴

x1+x2

2

=

-k

k2+2

，

y1+y2

2

=k•

-k

k2+2

+1=

2

k2+2

，(*)，
∵|PA|=|PB|，∴PM⊥AB，
①当k=0时，直线l：y=1，此时A，B关于y轴对称，满足PM⊥AB；
②当k≠0时，kAM•k=

y1+y2 2 - 1 3

x1+x2 2 -0

=

2 k2+2 - 1 3

-k k2+2

=-1（k≠0），
解得k=1或k=-1，
∴直线l：y=x+1或y=-x+1．
综上所述，直线l的方程为y=1或y=x+1或y=-x+1．

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，具体涉及到圆的性质、椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用、根的判别式、韦达定理等基本知识点，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．