Question

3．函数f（x）=2sinx+$\frac{3\sqrt{3}}{π}$x+m，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]有零点，则m的取值范围是（　　）

• A． [2$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （-∞，2$\sqrt{3}$]
• C． （-∞，2$\sqrt{3}$]∪（2$\sqrt{3}$，+∞）
• D． [-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 由题意可得m为函数y=-2sinx-$\frac{3\sqrt{3}}{π}$x，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]的值域，由函数在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]单调递减，代值计算可得．

解答 解：∵f（x）=2sinx+$\frac{3\sqrt{3}}{π}$x+m，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]有零点，
∴m为函数y=-2sinx-$\frac{3\sqrt{3}}{π}$x，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]的值域，
∵函数y=-2sinx-$\frac{3\sqrt{3}}{π}$x在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]单调递减，
∴当x=-$\frac{π}{3}$时，函数取最大值y_max=2$\sqrt{3}$，
当x=$\frac{π}{3}$时，函数取最小值y_min=-2$\sqrt{3}$，
故选：D

点评 本题考查函数的零点和方程根的关系，涉及三角函数的值域，属基础题．