Question

12．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x²f′（x）+2xf（x）=1+lnx，f（1）=0，若关于x的方程f（x）=a有两个不等实数根，则实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由已知可得f（x）=$\frac{lnx}{x}$，分析出f（x）=$\frac{lnx}{x}$的图象和性质，可得实数a的取值范围．

解答 解：令g（x）=x²f（x），
则g′（x）=x²f′（x）+2xf（x）=1+lnx，
∴g（x）=x•lnx+c，
∴f（x）=$\frac{x•lnx+c}{{x}^{2}}$，
∵f（1）=c=0，
∴f（x）=$\frac{x•lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
故当x=e时，f（x）取最大值$\frac{1}{e}$，
又由$\lim_{x→0}f（x）=-∞$，$\lim_{x→+∞}f（x）=0$，
故若关于x的方程f（x）=a有两个不等实数根，则实数a∈（0，$\frac{1}{e}$），
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）

点评 本题考查的知识点是根的存在性及极的个数判断，导数法判断函数的单调性和最值，难度中档．