Question

18．（本小题满分14分）

如图5，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，．
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

. (本小题满分分)
(本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
解:（1）(解法一)：由题意可知 ，
解得  ，                                       …………分
在中，，      …………分
∴ ，
又 ∵是的中点，
∴ .　　　　①                                 …………分
∵为圆的直径，
∴ .
由已知知 ，
∴ ，
∴  .                    …………分
∴ .      ②
∴ 由①②可知：，
∴ .                          …………分
（2）由（1）知： ，
∴，，
∴是二面角的平面角 .      …………分
, , .
∴ .
 .   ………分
(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，
由题意可知.
解得.                    
则，，， ，
∵是的中点，
∴ 可求得.      …………分
（1），，
∴ .
  ∵ ，
∴ .           …………分
（2）由（1）知,， ，
，   .                           
∵，.
∴是平面的法向量.                                    …………分
设是平面的法向量，
由，，
解得                                       …………分
.
所以二面角的平面角的余弦值.            …………分