Question

（本小题满分14分）
如图：在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且
（I）证明：平面AMN；
（II）求三棱锥N的体积；
（III）在线段PD上是否存在一点E，使得平面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由。

Answer 1

证明：（I）因为ABCD为菱形，所以AB=BC
又∠ABC=60°，所以AB=BC=AC，   ………………1分
又M为BC中点，所以BC⊥AM  ………………2分
而PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC ………………4分
又PA∩AM=A，所以BC⊥平面AMN   ………………5分
（II）因为  ………………6分
又PA⊥底面ABCD，PA=2，所以AN=1
所以，三棱锥N—AMC的体积  ………………8分
  ………………9分
（III）存在 ………………10分
取PD中点E，连结NE，EC，AE，
因为N，E分别为PA，PD中点，所以………………11分
又在菱形ABCD中，  
所以NE，即MCEN是平行四边形  ………………12分
所以，NM//EC，
又EC平面ACE，NM平面ACE
所以MN//平面ACE， ………………13分
即在PD上存在一点E，使得NM//平面ACE，
此时

略