Question

【题目】如图，在直四棱柱中，四边形是平行四边形，且．

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成的角为45°，是的中点，求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）要证直线与平面平行，需证直线与平面内一条直线平行；

（2）先找出与平面所成的角，求得相关线段的长，再找出异面直线所成的角或其补角，利用余弦定理求解即可．

（1）连接，记，连接，

∵是直四棱柱，

∴，且，

∵分别是的中点，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵平面平面，

∴平面．

（2）过作，交的延长线于点，连接，

则平面为与平面所成的角．

不妨设，则，

在中，，

∴．

∵与平面所成的角为45°，∴，

∴，∴．

取的中点，连接，

则为直线与所成的角或其补角．

易知，

，

，

∴，

故异面直线与所成角的余弦值为．