Question

已知各项全不为零的数列{a_k}的前k项和为S_k，且S_k=N*），其中a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_k}的通项公式；
（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b_k}满足（k=1，2，…，n-1），b₁=1，求b₁+b₂+…+b_n

Answer 1

解：（Ⅰ）当k=1，由及a₁=1，得a₂=2．
当k≥2时，由，得a_k（a_k+1-a_k-1）=2a_k．
因为a_k≠0，所以a_k+1-a_k-1=2．从而a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1．a_2m=2+（m-1）•2=2m，m∈N*．
故a_k=k（k∈N*）．

（Ⅱ）因为a_k=k，所以．
所以=．
故b₁+b₂+b₃++b_n==．
分析：（Ⅰ）由，得a_k（a_k+1-a_k-1）=2a_k．再由a_k+1-a_k-1=2．知a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1．a_2m=2+（m-1）•2=2m，m∈N*．由此可知a_k=k（k∈N*）．
（Ⅱ）由题意知=．由此可求出b₁+b₂+b₃++b_n的值．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．