Question

已知各项全不为零的数列{a_k}的前k项和为S_k，且S_k=

1

2

akak+1(k∈N*），其中a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_k}的通项公式；
（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b_k}满足

bk+1

bk

=

k-n

ab+1

（k=1，2，…，n-1），b₁=1，求b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ak=Sk-Sk-1=

1

2

akak+1-

1

2

ak-1ak，得a_k（a_k+1-a_k-1）=2a_k．再由a_k+1-a_k-1=2．知a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1．a_2m=2+（m-1）•2=2m，m∈N*．由此可知a_k=k（k∈N*）．
（Ⅱ）由题意知bk=

bk

bk-1

•

bk-1

bk-2

••

b2

b1

•b1=(-1)k-1•

(n-k+1)(n-k+2)(n-1)

k•(k-1)••2•1

•1=(-1)k-1•

1

n

C

k n

(k=1，2，n)．由此可求出b₁+b₂+b₃+…+b_n的值．

解答：解：（Ⅰ）当k=1，由a1=S1=

1

2

a1a2及a₁=1，得a₂=2．
当k≥2时，由ak=Sk-Sk-1=

1

2

akak+1-

1

2

ak-1ak，得a_k（a_k+1-a_k-1）=2a_k．
因为a_k≠0，所以a_k+1-a_k-1=2．
从而a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1．
a_2m=2+（m-1）•2=2m，m∈N*．
故a_k=k（k∈N*）．
（Ⅱ）因为a_k=k，所以

bk+1

bk

=-

n-k

ak+1

=-

n-k

k+1

．
所以bk=

bk

bk-1

•

bk-1

bk-2

•…•

b2

b1

•b1=(-1)k-1•

(n-k+1)(n-k+2)…(n-1)

k•(k-1)•…•2•1

•1=(-1)k-1•

1

n

C

k n

(k=1，2，n)．
故b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

n

[

C

1 n

-

C

2 n

+

C

3 n

-+(-1)n-1

C

n n

]=

1

n

{1-[

C

0 n

-

C

1 n

+

C

2 n

-+(-1)n•

C

n n

]}=

1

n

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．