Question

【题目】已知点，圆.

（1）若点点都为圆上的动点，且，求弦中点所形成的曲线的方程；

（2）若直线过点，且被（1）中曲线截得的弦长为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）设，中点为，在中，可得，再由弦长公式可得，代入点的坐标整理得答案；

（2）当直线的斜率不存在时，，此时求得弦长为，满足题意；当斜率存在时，设直线方程为，即，利用弦长公式及点到直线的距离公式列式求得值，则直线方程可求．

解：（1）设，中点为，

在中，，

在圆中，由弦长公式可得，

，

即，

整理得：．

该圆的圆心到圆圆心的距离，而．

曲线在圆内，符合要求，

即曲线的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，，此时求得弦长为，满足题意；

当斜率存在时，设直线方程为，即，

由弦长公式可得：，则，

解得：，

直线方程为，

综上，直线的方程为或．