Question

【题目】如图，设 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数，

（1）求点 的轨迹曲线 的方程：

（2）过定点 的直线 交曲线 于 两点，以 三点（ 为坐标原点）为顶点作平行四边形 ,若点 刚好在曲线 上，求直线 的方程．

Answer 1

【答案】（1） ;(2) ;

【解析】试题分析：

(Ⅰ)设点M的坐标为M（x，y），结合点到直线距离公式可得，整理可得曲线C的方程为.

(Ⅱ)很明显直线斜率不存在时不满足题意，当直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到关于斜率的方程，解方程可得，则直线 的方程是.

试题解析：

（Ⅰ）设点M（x，y），则据题意有=，

则3[（x﹣1）2+y2]=（x﹣3）2，

即2x2+3y2=6，∴，

故曲线C的方程为.

（Ⅱ）当直线l 2的斜率不存在时，显然不适合题意；

当直线l 2的斜率存在时，设直线l 2的方程：

联立方程：，得，

设，，则，，

即P,又点P刚好在曲线C上，∴

解得：.

所以直线l 2的方程为：