Question

【题目】在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n ．
（1）设bn= ，证明：数列{bn}是等差数列．
（2）求数列{an}的前n项和．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1=2an+2n，∴ ，

∴bn+1﹣bn=1．

∴数列{bn}是等差数列，首项为 =1，公差为1

（2）解：由（1）可得：bn=1+（n﹣1）=n，

∴ ，

∴ ，

∴数列{an}的前n项和Sn=1+2×2+3×22+…+n2n﹣1，

2Sn=2+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，

∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n= ﹣n×2n=（1﹣n）×2n﹣1．

∴Sn=（n﹣1）×2n+1

【解析】（1）由an+1=2an+2n ， 可得 ，即bn+1﹣bn=1．即可证明；（2）由（1）可得：bn=1+（n﹣1）=n， ，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】利用等差关系的确定和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．