Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）记的极小值为，求的最大值；

（Ⅱ）若对任意实数恒有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值的表达式，根据函数的单调性求出的最大值即可；

（2）通过讨论的范围，问题转化为，根据函数的单调性求出的范围即可.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是，.

，得，所以的单调区间是，函数在处取极小值，

.

，当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减.

所以是函数在上唯一的极大值点，也是最大值点，所以.

（Ⅱ）当时，，恒成立.

当时，，即，即.

令，，，

当时，，当，故的最小值为，

所以，故实数的取值范围是.

，，，由上面可知恒成立,

故在上单调递增，所以，

即的取值范围是.