Question

【题目】如图，在四棱锥中，为正三角形，,,,平面.

（Ⅰ）点在棱上，试确定点的位置，使得平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当为中点时.（Ⅱ）二面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意，以为坐标原点，射线，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设,若，则，即，在空间直角坐标系中求出相应向量坐标，可求出，由此确定点的位置（Ⅱ）在空间直角坐标系中求出平面的一个法向量，再求出平面的一个法向量，利用夹角公式即可求得二面角的余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）∵∴；又∵，∴，可得，，以为坐标原点，射线，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，.

（Ⅰ）,故；

设,若，则，即,

即，即，即当为中点时，，

则.所以当为中点时.

（Ⅱ）设平面的一个法向量，

，,则且，

即且，

令，则，，则，

再取平面的一个法向量.

则，

故二面角的余弦值为.