Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，点M和N分别为A₁B₁和BC的中点．
（1）求证：AC⊥BM；
（2）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（3）求二面角M-BN-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥BM．
（2）推导出$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AB}$=0，由$\overrightarrow{AB}$是平面ACC₁A₁的一个法向量，且MN?平面ACC₁A₁，能证明MN∥平面ACC₁A₁．
（3）求出平面MBN的法向量和平面ABN的法向量，利用向量法能求出二面角M-BN-A的余弦值．

解答 证明：（1）由题意知AC、AB、AA₁两两垂直，
如图，以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），M（0，1，2），
∵$\overrightarrow{AC}$=（1，0，0），$\overrightarrow{BM}$=（0，-1，2），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BM}$=0，∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BM}$，
∴AC⊥BM．
（2）∵M（0，1，2），N（$\frac{1}{2}，1，0$），A（0，0，0），B（0，2，0），
∴$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}，0，-2$），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AB}$=0，
∴MN⊥AB，
∵$\overrightarrow{AB}$是平面ACC₁A₁的一个法向量，且MN?平面ACC₁A₁，
∴MN∥平面ACC₁A₁．
解：（3）由（2）得$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}，0，-2$），$\overrightarrow{MB}$=（0，1，-2），
设平面MBN的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MB}=y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（4，2，1），
平面ABN的法向量$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{A}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{A{A}_{1}}|}$=$\frac{2}{\sqrt{21}×2}$=$\frac{\sqrt{21}}{21}$，
∵二面角M-BN-A的平面角是锐角，
∴二面角M-BN-A的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{21}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．