Question

16．在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为（0，1），（0，-1），动点G满足：直线EG与直线FG的斜率之积为-$\frac{1}{2}$．
（1）求动点G的轨迹方程；
（2）⊙O是以EF为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与动点G的轨迹交于不同的两点A，B．当$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$时，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）设动点G的坐标（x，y），求出直线EG的斜率，直线FG的斜率，利用已知条件求解即可．
（2）由圆O与直线l相切，知m²=k²+1，联立直线与椭圆，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直线l与椭圆交于两个不同点，得到k²＞0，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$时，求出k，即可求△AOB的面积．

解答 解：（1）已知E（0，1），F（0，-1），设动点G的坐标（x，y），
∵动点G满足：直线EG与直线FG的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{y-1}{x}×\frac{y+1}{x}$=-$\frac{1}{2}$，即$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1（x≠0）$．
（2）∵圆O与直线l相切，∴$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即m²=k²+1，
联立直线与椭圆，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$
∴k²=1，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{2（{k}^{4}+{k}^{2}）}{4（{k}^{4}+{k}^{2}）+1}}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查向量知识的运用，考查分析问题解决问题的能力．