Question

3．已知圆C过点A（1，2）和B（1，10），且与直线x-2y-1=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（-3，-6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设所求圆的方程为（x-a）²+（y-6）²=r²，代入坐标，可得圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）分类讨论，利用代入法，求线段PQ中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）圆心显然在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心为（a，6），半径为r，则：
圆C的标准方程为（x-a）²+（y-6）²=r²，
由点B在圆上得：（1-a）²+（10-6）²=r²，
又圆C与直线x-2y-1=0，有r=$\frac{|a-13|}{\sqrt{5}}$．
于是${（a-1）^2}+16=\frac{{{{（a-13）}^2}}}{5}$
解得：$a=3，r=2\sqrt{5}$，或$a=-7，r=4\sqrt{5}$
所以圆C的标准方程为（x-3）²+（y-6）²=20，或（x+7）²+（y-6）²=80；
（2）设M点坐标为（x，y），P点坐标为（x₀，y₀），
由M为PQ的中点，则$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_0}-3}}{2}\\ y=\frac{{{y_0}-6}}{2}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2x+3\\{y_0}=2y+6\end{array}\right.$
又点P（x₀，y₀）在圆C上，
若圆的方程为（x-3）²+（y-6）²=20，有：${（{x_0}-3）^2}+{（{y_0}-6）^2}=20$，
则（2x+3-3）²+（2y+6-6）²=20，整理得：x²+y²=5
此时点M的轨迹方程为：x²+y²=5．
若圆的方程为（x+7）²+（y-6）²=80，有：${（{x_0}+7）^2}+{（{y_0}-6）^2}=80$，
则（2x+3+7）²+（2y+6-6）²=80，整理得：（x+5）²+y²=20
此时点M的轨迹方程为：（x+5）²+y²=20
综上所述：点M的轨迹方程为x²+y²=5，或（x+5）²+y²=20．

点评 本题考查圆的方程，考查代入法的运用，考查分类讨论的数学思想，确定坐标之间的关系是关键．