Question

12．设函数$f（x）=\frac{{{{（sinx+1）}^2}}}{{{{sin}^2}x+1}}$的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．

Answer 1

分析 通过换元可知y=f（x）=1+$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，其中t=sinx∈[-1，1]，利用z=$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$为奇函数可知z_max+z_min=0，进而M+m=（1+z_max）+（1+z_min）=2．

解答 解：由题可知t=sinx∈[-1，1]，则y=f（x）=1+$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，
令z=$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，则当t=0时z=0，且函数z为奇函数，
所以z_max+z_min=0，
又因为M+m=（1+z_max）+（1+z_min），
所以M+m=2+（z_max+z_min）=2，
故答案为：2．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的奇偶性，注意解题方法的积累，属于中档题．