题目内容
【题目】已知椭圆
的焦距为2，且长轴长是短轴长的
倍.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若过椭圆左焦点
的直线
交椭圆于
两点，点
在
轴非负半轴上，且点到坐标原点的距离为2，求
取得最大值时
的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由题意，
解方程组即可；
（2）分直线
垂直于
轴和直线不垂直于轴两种情况讨论，当直线垂直于轴时，易得
三点坐标，再利用数量积的坐标运算即可算得
；当直线不垂直于轴时，设
，
，直线方程为
，联立椭圆方程得到根与系数的关系，代入的坐标表示中，即可得到关于
的函数，求出范围结合第一种情况即可得到取的最大值，进一步得到三角形的面积.
（1）据题意，得
解得
，
，
椭圆
的标准方程为.
（2）据题设知，
.
设，.
讨论：
当直线垂直于轴时，
，
，
或，
，
，
；
当直线不垂直于轴时，设直线方程为.
据
得
.
，
，
.
综上，
，
此时
.
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【题目】为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为
，且成绩分布在
的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中
构成以2为公比的等比数列.
（1）求的值；
（2）填写下面
列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 6 | ||
不获奖 | |||
合计 | 400 |
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为
，求的分布列及数学期望.
附：
，其中
.
| .15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
