Question

【题目】已知是各项均为正数的无穷数列，数列满足(n)，其中常数k为正整数．

（1）设数列前n项的积，当k＝2时，求数列的通项公式；

（2）若是首项为1，公差d为整数的等差数列，且＝4，求数列的前2020项的和；

（3）若是等比数列，且对任意的n，，其中k≥2，试问：是等比数列吗？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）数列是等比数列．证明见解析

【解析】

（1）先求出，即得数列的通项公式；

（2）通过分析得到d＝1，得到，再求出k＝1，即得，再利用裂项相消法求数列的前2020项的和；

（3）设公比为q2，则对任意n，，由已知得到，证明得到，即得数列是等比数列．

解：（1）因为，所以，

两式相除，可得，

当n＝1时，，符合上式，所以，

当k＝2时，；

（2）因为，且，

所以，，

所以，

因为是各项均为正数的无穷数列，是首项为1，公差d为整数的等差数列，

所以d，k均为正整数，所以，所以，

所以，解得d≤1，所以d＝1，即.

所以，即，解得k＝1，

所以，则，

记的前n项和为，

则，

所以；

（3）因为成等比数列，设公比为q2，则对任意n，，

因为，且，所以，所以，

因为，所以，

所以数列是等比数列．