Question

若点P在△AOB的边AB上，且

OP

=m

OA

+4n

OB

（m，n∈R），则mn的最大值为

 

．

Answer 1

分析：求出

AP

 和

PB

，由

AP

∥

PB

，可得 m+4n=1，利用基本不等式可得 mn≤

1

16

，从而得到答案．

解答：解：∵

AP

=

OP

-

OA

=（m-1）

OA

+4n

OB

，

PB

=

OB

-

OP

=-m

OA

+（1-4n）

OB

，
由于点P在△AOB的边AB上，故m、n 都是正数，且

AP

∥

PB

，∴（m-1）（1-4n）-4n（-m）=0，
化简可得   m+4n=1，由基本不等式可得  1≥2

4mn

，∴mn≤

1

16

，当且仅当 m=4n=

1

2

时，
等号成立，故mn的最大值为 

1

16

，
故答案为：

1

16

．

点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．