题目内容

若点P在△AOB的边AB上，且 $数学公式$ =m $数学公式$ +4n $数学公式$ （m，n∈R），则mn的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，可得 m+4n=1，利用基本不等式可得 mn≤ $\text{[math]}$ ，从而得到答案．
解答：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（m-1） $\text{[math]}$ +4n $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-m $\text{[math]}$ +（1-4n） $\text{[math]}$ ，
由于点P在△AOB的边AB上，故m、n 都是正数，且 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，∴（m-1）（1-4n）-4n（-m）=0，
化简可得 m+4n=1，由基本不等式可得 1≥2 $\text{[math]}$ ，∴mn≤ $\text{[math]}$ ，当且仅当 m=4n= $\text{[math]}$ 时，
等号成立，故mn的最大值为 $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．