Question

在△ABC中，sinA=4cosB•cosC，且tanB•tanC=3，
（1）求角A的余弦值；
（2）若角A所对的边a长为4，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）在△ABC中，sinA=4cosB•cosC，故 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=4cosBcosC，
两边同除cosBcosC可得 tanB+tanC=4．
再由 tanB•tanC=3，可得 tan（B+C）=

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-2，故 tanA=

sinA

cosA

=2，故A为锐角．
再由 sin²A+cos²A=1，可得sinA=

2 5

5

，cosA=

5

5

．
（2）若角A所对的边a长为4，不妨设B＞C，则由（1）中 tanB+tanC=4、tanB•tanC=3，可得tanB=3，tanC=1，
故sinB=

3 10

10

，sinC=

2

2

．
由正弦定理可得

4

5 5

=

b

3 10 10

=

c

2 2

，由此求得b=6

2

，c=2

10

，故△ABC的面积为

1

2

•bc•sinA=12．