Question

【题目】已知函数，其中．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，讨论关于x的方程在区间上实根的个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，的单调增区间是，单调减区间是．当时，的单调增区间是，单调减区间是．（Ⅱ）当或时，原方程在上仅有一个实根；当时，原方程在上有两个实根．

【解析】

（Ⅰ）求导后，对分类讨论，利用导函数的符号可得单调区间；

（Ⅱ）显然是方程的实根，在的条件下，由（Ⅰ）的单调性可得关于x的方程在区间上无实根，当时，构造函数，求导并对分类讨论可求得结果.

（Ⅰ）由条件，得

令，得．

当时，由，得，由，得．

所以的单调增区间是，单调减区间是．

当时，由，得，由，得．

所以的单调增区间是，单调减区间是．

（Ⅱ）因为，所以是方程的实根．

当时，由（Ⅰ）知单调递增，所以．而，

所以方程在区间上无实根．

当时，．

设，

则．

设，

当时，，所以在上单调递增．

①当，即时，在区间上，总有，从而，所以在上单调递增，，即原方程在上无实根．

②当，即时，因为，所以存在，满足．

所以在上，，单调递减，在上，，单调递增．

又因为，，

所以当，即时，原方程在上有唯一实根，

当，即时，原方程在上无实根；

综上所述，当或时，原方程在上仅有一个实根；

当时，原方程在上有两个实根．