Question

【题目】已知，，．

（1）若，证明：；

（2）对任意，都有，求整数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

（1）构造函数，利用二次求导可证明结论成立；

（2）利用时，不等式成立以及（1）的结论，可得，从而只需证明在区间恒成立即可．再根据（1）的结论，转化为证明在上恒成立.利用导数即可证明，由此可得结果.

（1）设，则，

因为，且，

则在单调递减，因为，，

所以存在唯一零点，使得，

所以时，，时，，

则在时单调递增，在上单调递减，

又，，

所以在上恒成立，所以在上单调递增，

则，即．

所以．

（2）因为对任意的，不等式，

即恒成立，

令，则，

由（1）知，所以，

由于为满足的整数，则，

因此．

下面证明在区间恒成立即可．

由（1）知，则，

故，

设，，则，

所以在上单调递减，

所以，所以在上恒成立．

综上所述，的最大值为2．