Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD的两边AB，CD分别落在x轴、y轴的正半轴上，且AB=2，AD=4，点A与坐标原点重合．现将矩形折叠，使点A落在线段DC上，若折痕所在的直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程及k的范围．

Answer 1

分析：分析重合的两个点之间的关系，A点落在线段DC上，A点与DC上的点关于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，求出对应点之间的斜率，得出k的取值．（注意要分点A与点D重合以及点A与点D不重合两种情况来研究）．

解答：解：①当k=0时，点A与点D重合，折痕所在直线的方程
为y=2；                  …（2分）
②当k≠0时，设矩形折叠后点A落在线段DC上
的点A′（a，4），…（4分）
所以，A与A′关于折痕所在直线对称，
从而

4

a

•k=-1，即a=-4k…（7分）
故A′点的坐标（-4k，4），线段AA′的中点坐标为（-2k，2），…（10分）
所以，折痕所在直线的方程为y-2=k（x+2k），即kx-y+2k²+2=0． …（12分）
由于当k=0时，折痕所在直线的方程为y=2也满足上式，
所以，折痕所在直线的方程为kx-y+2k²+2=0；
显然，当点A′与点C重合时，k取最小值为-

1

2

，即-

1

2

≤k≤0
综上所述，折痕所在直线的方程为kx-y+2k²+2=0且-

1

2

≤k≤0．…（14分）

点评：本题考查点关于线段对称问题，考查直线之间的垂直关系的应用，考查直线的图象的特征，