Question

7．如图，在四棱柱 ABCD-A₁ B₁C₁D₁中，CC₁⊥底面 ABCD，底面 ABCD为菱形，点 E，F分别是 AB，B₁C₁的中点，且∠DAB=60°，AA₁=AB=2．
（I）求证：EF∥平面 AB₁D₁；
（II）求三棱锥 A-CB₁D₁的体积．

Answer 1

分析 （I）如图，连接A₁C₁交B₁D₁于O点，连接OF，OA．利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定可得AOFE是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．
（II） 连接AC交BD于点M，连接D₁M，B₁M．可得${V}_{A-{B}_{1}{D}_{1}M}$=${V}_{C-{B}_{1}{D}_{1}M}$，${V}_{A-C{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{B}_{1}{D}_{1}M}$+${V}_{C-{B}_{1}{D}_{1}M}$，由于四边形BACD是菱形，BB₁⊥平面ABCD，可得平面BDD₁B₁⊥平面ABCD，AM⊥平面BDD₁B₁，即可得出${V}_{A-{B}_{1}{D}_{1}M}$=$\frac{1}{3}AM•{S}_{BD{D}_{1}{B}_{1}}$．

解答 证明：（I）如图，连接A₁C₁交B₁D₁于O点，连接OF，OA．
∵$OF\underset{∥}{=}\frac{1}{2}{C}_{1}{D}_{1}$，$AE\underset{∥}{=}\frac{1}{2}{C}_{1}{D}_{1}$，
∴$OF\underset{∥}{=}AE$．
∴AOFE是平行四边形，
∴EF∥OA，而EF?平面 AB₁D₁，OA?平面 AB₁D₁；
∴EF∥平面 AB₁D₁．
（II） 连接AC交BD于点M，连接D₁M，B₁M．
则${V}_{A-{B}_{1}{D}_{1}M}$=${V}_{C-{B}_{1}{D}_{1}M}$，
${V}_{A-C{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{B}_{1}{D}_{1}M}$+${V}_{C-{B}_{1}{D}_{1}M}$=2${V}_{A-{B}_{1}{D}_{1}M}$，
∵四边形BACD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵BB₁⊥平面ABCD，
∴平面BDD₁B₁⊥平面ABCD，
∴AM⊥平面BDD₁B₁，
∴${V}_{A-{B}_{1}{D}_{1}M}$=$\frac{1}{3}AM•{S}_{BD{D}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×$$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}×$2×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴${V}_{A-C{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间线面位置关系及其判定、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．