Question

已知, 正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中, M, N, P分别是棱AB, BC, DD₁中点, 求证: PB^平面B₁MN

 

Answer 1

答案：
解析：

证明: ∵AM =BM, BN =NC 　　   ∴MN∥AC 　　   ∵BD^AC 　　   ∴MN^BD 　　   ∵D1D^平面ABCD 　　   ∴BD为PB在平面ABCD内的射影 　　   ∴PB^MN 　　   取A1A的中点Q, 则PQ∥AD 　　   ∵AD^侧面ABB1A1 　　   ∴PQ^侧面ABB1A­­1 　　   ∴QB为PB在侧面ABB1A1内的射影 　　   设QB与MB1交于点E 　　   在△AQB和△BMB1中 　　   ∵AQ =BM 　　   AB =BB1­ 　　   ÐQAB =ÐMBB1 =90° 　　   ∴△QAB≌MBB1 　　   ∴Ð1 =Ð2 　　   ∵Ð3 + Ð2 =90°    　　   ∴Ð3 + Ð1 =90° 　　   ∴ÐMEB =90° 　　   即QB^B1M 　　   ∴PB^MB1 　　   ∵PB^MN 　　   PB^MB1 　　   MNMB1 =M 　　   ∴PB^平面B1MN