Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，点P在线段BD₁上，当∠APC最大时，三棱锥P-ABC的体积为

1

18

．

Answer 1

分析：连接AC交BD于O，连接PO，则∠APC=2∠APO，由tan∠APO=

AO

PO

，知PO⊥BD₁时，∠APO最大，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．

解答：解：连接AC交BD于O，连接PO，则∠APC=2∠APO，
∵tan∠APO=

AO

PO

，
∴当PO最小时，∠APO最大，
即PO⊥BD₁时，∠APO最大，
如图，作PE⊥BD于E，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，
∴BD=

2

，BD₁=

3

，
∵OP⊥BD₁，PE⊥BD，
∴△BDD₁∽△BPO∽△PEO，
∴

OP

DD1

=

OB

BD1

，

PE

BD

=

OP

BD1

，
∴OP=

OB×DD1

BD1

=

2 2 ×1

3

=

6

6

，
PE=

BD×OP

BD1

=

2 × 6 6

3

=

1

3

，
∴三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

×S△ABC×PE=

1

3

×

1

2

×12×

1

3

=

1

18

．
故答案为：

1

18

．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．