Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆方程；

（2）记与的面积分别为和，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）。

【解析】

试题分析：

（1）根据条件一个焦点坐标为，即，根据椭圆方程可以列出：，所以，于是可以求出椭圆方程为，本问考查椭圆方程的求法，属于简单题，为基础知识的考查，容易得分；

（2）首先讨论当直线斜率l不存在时，直线方程为，此时C,D两点坐标可求，△ABD与△ABC面积相等，S1-S2=0，再讨论当直线l斜率存在时，设为k，则直线l方程根据点斜式可以设为y=k（x+1）,联立直线方程与椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，判别式△>0显然成立，设C（x1,y1）,D（x2,y2）,（y1y2<0）,可以得到，根据题意，，，所以

。从而求出的最大值。本问考查直线与椭圆的位置关系，要求学生有一定的分析能力和转化能力，能够利用函数、方程、不等式的思想求最值。

试题解析：

（1）因为为椭圆的焦点，所以，又，

所以，所以椭圆方程为.

（2）当直线无斜率时,直线方程为,此时

,,.

当直线斜率存在时，设直线方程为，设，

联立得，消掉得，

显然，方程有根，且.

此时

.

因为，上式，（时等号成立），

所以的最大值为.