已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{(x-1)^2}+2.\;\;\;x≤1\\ \frac{1}{x}+1.\;\;x＞1\;.\;\;\end{array}\right.$下列四个命题:①f,②?x0∈=-\frac{1}{3}$,③f(x)的极大值点为x=1,④?x1.x2∈.|f(x1)-f(x2)|≤1其中正确的有①②③④．(写出所有正确命题� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

16．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{（x-1）^2}+2，\;\;\;x≤1\\ \frac{1}{x}+1，\;\;x＞1\;.\;\;\end{array}\right.$下列四个命题：
①f（f（1））＞f（3）；
②?x₀∈（1，+∞），$f'（{x_0}）=-\frac{1}{3}$；
③f（x）的极大值点为x=1；
④?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≤1
其中正确的有①②③④．（写出所有正确命题的序号）

分析解：函数f（x）的图形如图所示，
对于①，f（1）=2，f（f（1））=f（2）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{4}{3}$，．
对于②，x＞1时，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$，⇒x=$\sqrt{3}$．．
对于③，根据图形可判断．
对于④，由x∈（0，+∞）时，1＜f（x）≤2，可判断

解答解：函数f（x）的图形如图所示，
对于①，f（1）=2，f（f（1））=f（2）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{4}{3}$，故①正确．
对于②，x＞1时，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$，⇒x=$\sqrt{3}$．故②正确．
对于③，根据图形可判断③正确．
对于④，x∈（0，+∞）时，1＜f（x）≤2，
∴?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≤1正确
故答案为：①②③④

点评本题考查了函数的图象与性质，数形结合思想、转化思想，属于中档题．

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