Question

7．已知圆C：x²+y²-6x-8y+21=0．
（1）若直线l₁过定点A（1，1），且与圆C相切，求l₁的方程；
（2）若圆D的半径为3，圆心在直线l₂：x-y+2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．

Answer 1

分析 （1）将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r即可；设直线l方程为y-1=k（x-1），根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出k的值，即可确定出直线l的方程
（2）依题意设D（a，a+2），又已知圆心C为（3，4），半径为2，由$\sqrt{（a-3）^{2}+（a+2-4）^{2}}=5$
解得a=-1，或a=6即可．

解答 解：（1）将圆的方程化为标准方程得：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圆心C（3，4），半径r=2；
当直线l₁斜率不存在时，直线x=1满足题意；
当斜率存在时，设直线l₁方程为y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
根据题意得：圆心C到直线l₁的距离d=r，即$\frac{|3k-4-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{|2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得：k=$\frac{5}{12}$，
此时直线l方程为5x-12y+7=0，
综上，直线l方程为x=1或5x-12y+7=0；
（2）依题意设D（a，a+2），又已知圆心C为（3，4），半径为2，
∴$\sqrt{（a-3）^{2}+（a+2-4）^{2}}=5$，
解得a=-1，或a=6
∴D（-1，1）或（6，8）
∴圆D的方程为：（x-6）²+（y-8）²=9或（x+1）²+（y-1）²=9，

点评 本题考查了圆的切线，圆与圆的位置关系，属于中档题．