Question

（2013•韶关一模）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

5

，两焦点分别为F₁，F₂，点M（x₀，y₀）是椭圆C上一点，且△F₁F₂M的周长为16，设线段MO（O为坐标原点）与圆O：x²+y²=r²交于点N，且线段MN长度的最小值为

15

4

．
（1）求椭圆C以及圆O的方程；
（2）当点M（x₀，y₀）在椭圆C上运动时，判断直线l：x₀x+y₀y=1与圆O的位置关系．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的半焦距，由离心率为

3

5

，△F₁F₂M的周长为16联立求出半长轴和半焦距，则b可求，椭圆方程可求，结合椭圆方程把M到原点的距离用M的横坐标表示，利用二次函数求最值求出|MO|的最小值，则|MN|的最小值可求，代入数值可求圆的半径，则圆的方程可求；
（2）由点M在椭圆上，把其纵坐标用横坐标表示，直接利用点到直线的距离公式写出原点到直线x₀x+y₀y=1的距离，根据M点横坐标的取值情况讨论直线l：x₀x+y₀y=1与圆O的位置关系．

解答：解：（1）设椭圆C的半焦距为c，则

c

a

=

3

5

，即c=

3

5

a①，
又|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=16②，
联立①②，解得a=5，c=3，所以b=

a2-c2

=4，
所以椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1；    
而椭圆C上点M（x₀，y₀）与椭圆中心O的距离为|MO|=

x 2 0 + y 2 0

=

x 2 0 +16- 16 25 x 2 0

=

9 25 x 2 0 +16

≥4，
等号在x₀=0时成立，
而|MN|=|MO|-r，则|MN|的最小值为4-r=

15

4

，从而r=

1

4

，
则圆O的方程为x2+y2=

1

16

．     
（2）因为点M（x₀，y₀）在椭圆C上运动，所以

x 2 0

25

+

y 2 0

16

=1，
即

y

2 0

=16-

16

25

x

2 0

，
圆心O到直线l：x₀x+y₀y=1的距离d=

1

x02+y02

=

1

x02+16- 16 25 x02

=

1

9 25 x02+16

，
当x₀=0，y₀=±4时，d=

1

16

=

1

4

=r，则直线与圆O相切． 
当x₀≠0时，d＜

1

16

=

1

4

=r，则直线与圆O相交．

点评：本题考查了椭圆河源的标准方程，考查了直线和圆的位置关系，训练了二次函数最值的求法，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属中高档题．