题目内容

证明：数列{an}为等差数列的充要条件是数列{an}的通项公式为an=An+B（A、B为常数）.

 

答案：
解析：

先证必要性：

∵{an}为等差数列，

∴an=a1+(n－1)d=dn+a1－d.

令A=d，B=a1－d，则an=An+B.

再证充分性：

∵an+1－an=[A(N+1)+B]－(An+B)=A，n∈N*，

∴{an}成等差数列.

 


练习册系列答案
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已知Sn是数列{an }的前n项和，Sn满足关系式2Sn=Sn-1-(
1
2
)n-1+2，a1=
1
2

（n≥2，n为正整数）．
（1）令bn=2nan，求证数列{bn }是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）对于数列{un}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M成立，称数列{un} 为“差绝对和有界数列”，
证明：数列{an}为“差绝对和有界数列”；
（3）根据（2）“差绝对和有界数列”的定义，当数列{cn}为“差绝对和有界数列”时，
证明：数列{cn•an}也是“差绝对和有界数列”．
已知数列{an}中，a2=p（p是不等于0的常数），Sn为数列{an}的前n项和，若对任意的正整数n都有Sn=
n(an-a1)
2
．
（1）证明：数列{an}为等差数列；
（2）记bn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）记cn=Tn-2n，是否存在正整数N，使得当n＞N时，恒有cn∈（
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2
，3），若存在，请证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由．
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn满足关系式2Sn=Sn-1-(
1
2
)n-1+2，a1=
1
2
（n≥2，n为正整数）．
（1）令bn=2nan，求证数列{bn}是等差数列，
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）对于数列{un}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…|u2-u1|≤M成立，称数列{un}为“差绝对和有界数列”，证明：数列{an}为“差绝对和有界数列”．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3，…，其中A．B为常数．
（1）求A与B的值；
（2）证明：数列{an}为等差数列；
（3）证明：不等式
5amn
-
aman
＞1对任何正整数m，n都成立．

（本小题满分13分）
已知数列{an}中，a2＝p(p是不等于0的常数)，Sn为数列{an}的前n项和，若对任意的正整数n都有Sn＝.
(1)证明：数列{an}为等差数列；(2)记bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)记cn＝Tn－2n，是否存在正整数N，使得当n＞N时，恒有cn∈(，3)，若存在，请证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由．

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